b)Pourquoi une bulle est­-elle ronde ?

 

    Nous savons qu’une bulle de savon a une forme sphérique, ce qui signifie que la sphère est bel et bien le solide qui présente la surface minimale pour un volume donné. Mais comment le prouver ?

    De nombreux mathématiciens, dont Archimède, ont tenté de l’expliquer, en vain.

Ce n'est effectivement qu'en 1882 que le mathématicien allemand Hermann Amandus Schwarz a prouvé cette théorie.

 

    C'est pourquoi à notre niveau, et avec nos capacités, nous nous sommes prêtées au jeu, et, à travers de nombreux calculs mathématiques, nous avons essayé de prouver que la sphère est la surface minimale pour un volume donné.

 

Nous allons tout d’abord commencer par comparer la sphère avec d’autres solides réguliers.

 

PYRAMIDE :

On calcule la hauteur de la pyramide régulière à base carrée et aux faces triangulaires équilatérales :

 

Pour commencer, on cherche la valeur de la diagonale AC.

Dans le triangle ABC, rectangle en B, d’après Pythagore, on a :

AC²=AB² + BC²

AC²=c² + c²

AC²=2 c²

AC=√2 ×c u

 

Ensuite, on cherche la valeur de la hauteur.

Dans le triangle SOC, rectangle en O, d’après Pythagore, on a :

SC²=OC² + OS²

c²=[(√2 ×c) / 2]² + OS²

OS²=c² - [(√2 ×c) / 2]²

OS²=c² - [(√2×c)² / 2²

OS²=c² - (2c²) / 4

OS²=c² - c² / 2

OS²=c² / 2

OS=c / √2 u

 

Pour le calcul des surfaces, on prend volume=1.

 

Volume=(Aire de la base × h) / 3

Surface=c² + 4 × Aire du triangle équilatéral

[c² × (c / √2)] / 3=1

c² × (c / √2)=3

c³ / √2=3

c³=3 × √2

c=1,6189

 

Surface=c² + 4× (√3)/4×c²

Surface=1,6189² + 4× (√3)/4× 1,6189²=7,1603

Surface=7,1603 u²

 

CUBE :

 

Volume=c³

Surface=6c²

 

c³=1

c=1 u

 

Surface=6×1²=6 u²

 

SPHERE :

 

Volume=  4/3 × πR3

Surface=4πR²

 

4/3 × πR³=1

πR³=3/4

R³=3/4 × 1/π

R³=3/4π

R =0,6204

 

Surface=4×π×0,6204²=4,8367 u²

 

Après ces premiers calculs, nous constatons que la sphère représente la plus petite surface pour un volume égal à 1.

 

Cependant, ces résultats ne sont tirés que de quelques exemples. C’est pour cela que nous allons comparer les périmètres de plusieurs polygones réguliers pour une aire donnée, et donc nous concentrer sur la 2D.

 

TRIANGLE EQUILATERAL :

 

Aire=(c×h)/2

Périmètre=3c

 

On cherche la hauteur :

Dans le triangle HBC, rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a :

BC²=BH² + HC²

c²=CH² + (c/2)²

CH²=c² - (c/2)²

CH²=c² - c²/4

CH²=4c²/4 - c²/4=3c²/4

CH=(√3 ×c)/2

 

Aire=(c×h)/2

[c× (√3 ×c)/2]/2=1

c× (√3 ×c)/2=2

c× (√3 ×c)=4

√3 × c²=4

c²=4/√3

c=1,5197

 

P=3c=3 × 1,5197

P=4,5591 u