c) Recherche du diamètre optimal:
Nous avons jusqu'à présent beaucoup joué sur les ingrédients constituant notre préparation. Nous pouvons donc nous demander s'il existe un diamètre qui optimise encore plus la durée de la bulle.
EXPÉRIENCE 6: Recherche du diamètre optimal:
Comme les bulles contenant de la glycérine ont une durée de vie importante et que nous voulions faire de nombreuses expériences pour avoir des résultats plus précis, nous avons décidé de faire cette expérience sans cet ingrédient supplémentaire.
Protocole expérimental :
1) Ingrédients et matériels:
-de l'eau déminéralisée;
-du savon pour les mains;
-un petit gobelet en plastique;
-une règle;
-un chronomètre;
-une paille.
2) Etapes et réalisation
- Nous préparons notre solution habituelle contenant 20 mL d'eau pour 4 gouttes de savon.
- Nous réalisons des bulles de taille moyenne, et nous faisons varier leur diamètre à l'aide d'une paille. Pour faire pénétrer la paille dans la bulle sans casser cette dernière, nous trempons la paille dans notre solution savonnée. Pour augmenter le diamètre de la bulle, nous soufflons dans la paille et pour le diminuer, nous inspirons l'air de la bulle, toujours en se servant de la paille.
- Nous produisons ainsi plusieurs bulles pour chaque diamètre, et à chaque fois, nous chronométrons et notons leur durée.
- Nous rentrons les résultats dans un tableur afin d'obtenir le graphique ci-dessous.
La courbe représentant le temps moyen de durée des bulles en fonction de leur diamètre semble correspondre à une parabole. En effet, elle est croissante sur l’intervalle I=[2 ;5] et décroissante sur l’intervalle I=[5 ;8]. Elle admet donc un maximum. Nous allons lui associer une fonction polynôme de degré 2 : f(x)=a(x – α) ² + β
On admet que la courbe est une parabole. Son sommet est le suivant : S(α ; β)
=S(5 ; 78.3).
On a : f(x)=a(x – 5) ² + 78.3
On prend un point de la courbe, par exemple A(8 ;4) et on l’utilise pour résoudre l’équation :
y=a(x – 5) ² + 78.3
4=a(8 – 5) ² + 78.3
4=9a + 78.3
9a=-74.3
a=-8,26=-743/90
On obtient: f(x)=-743/90 (x – 5) ² + 78.3
On passe de la forme canonique à la forme développée :
f(x)=-743/90 (x – 5) ² + 78.3
f(x)=-743/90 (x² - 10x +25) +78.3
f(x)=-743/90x² + 743/9x – 3715/18 +78.3
f(x)=-743/90x² + 743/9x – 5764/45
Nous pouvons maintenant calculer Δ :
Δ=b² - 4ac
Δ=(743/9)² - 4× (-743/90) × (-5764/45)
Δ=2585.64
Ainsi, nous pouvons calculer x1 et x2 :
x1=(-b - √Δ) / 2a
x1=(-743/9 - √2585.64) / 2 × (-743/90)
x1=8.07
x2 =(-b + √Δ) / 2a
x2 =(-743/9 + √2585.64) / 2 × (-743/90)
x2 =1.92